Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского.

На основе треугольника Серпинского могут быть изготовлены многодиапазонные фрактальные антенны.

Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают при эволюции многих конечных автоматов, подобных игре Жизнь.

В 2024 году Международная команда исследователей сообщила об открытии белка цитратсинтазы в цианобактерии Synechococcus elongatus, который самоорганизуется в треугольник Серпинского, это первый известный молекулярный фрактал.

Построение

Итеративный метод

Построение треугольника Серпинского

Середины сторон равностороннего треугольника $T_{0}$ соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество $T_{1}$, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество $T_{2}$, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность $T_{0}\supset T_{1}\supset \dots \supset T_{n}\supset \dots$, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Метод хаоса

1. Задаются координаты аттракторов — вершин исходного треугольника $T_{0}$.

2. Вероятностное пространство $(0;1)$ разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.

3. Задаётся некоторая произвольная начальная точка $P_{0}$.

4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.

1. Генерируется случайное число $n\in (0;1)$.

2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.

3. Строится точка $P_{i}$ с новыми координатами: $x_{i}={\frac {x_{i-1}+x_{A}}{2}};y_{i}={\frac {y_{i-1}+y_{A}}{2}}$, где:

$x_{i-1},y_{i-1}$ — координаты предыдущей точки $P_{i-1}$; $x_{A},y_{A}$ — координаты активной точки-аттрактора.

5. Возврат к началу цикла.

Свойства

• Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
• Треугольник Серпинского замкнут.
• Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Треугольник Серпинского обладает самоподобием
• Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность $=\ln 3/\ln 2\approx 1{,}585$. В частности,
  • треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.
• Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.

В искусстве

• Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений Георгия Нарбута, в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала «Мистецтво» (1919—1920 гг.).
• Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в интерьере синагоги Бен-Эзра, Каир, Египет
• Четыре первых итерации фрактальных треугольников Серпинского использовались в орнаментах геометрической мозаики стиля косматеско в средневековых соборах Италии (начиная с XII века), арабских и персидских интерьерах.

• 
  Мозаичный пол в стиле косматеско в Кафедральном соборе Св. Марии в Ананьи
• 
  Римская мозаика 3 — 4 столетия в античном музее города Арль, Франция

Реализации

JavaScript (html5)

Аппроксимация квадратами

Картинка, генерируемая кодом на JavaScript

   let k = Math.sqrt(3)/2, S = 16, H = 512, W = Math.floor(H/k);

   let canvas = document.createElement("canvas");
   let ctx = canvas.getContext('2d');

   document.body.append(canvas);
   canvas.width = W;
   canvas.height = H;

   ctx.fillRect(0, 0, W, H);

   for(let x = 0; x <= Math.floor(W/2); x++) {

        for(let y = 0; y < H; y++) {

             let A = y, a = A%S;
             let B = y/2+x*k, b = B%S;
             let C = y/2-x*k, c = C%S;

             if(a > b && C > 0 && B > 0) {

                  if ( (B/S) & (C/S) ) ctx.fillStyle='#ff0'; else ctx.fillStyle='#000';

                  }
             else if(a < b && C > 0 && B > 0) ctx.fillStyle='#0f8';
             else ctx.fillStyle='#fff';

             ctx.fillRect(Math.floor(W/2)-x, y, 1, 1);

             if (x!=0) ctx.fillRect(Math.floor(W/2)+x, y, 1, 1);

             }
        }

Рекурсивный метод

   const depth = 7;
   const basecolor = "black";
   const fillcolor = "white";

   // ain't iteration a bit nicer via timer?
   // (calculations become smooth & async)

   const timestep = 300; // ms

   // define html5 canvas
   const width = 700; // px

   const canv = document.createElement("canvas");
   const ctx = canv.getContext("2d");

   // don't wish to deal with right triangles, so just re-scale canv style

   canv.width = width;
   canv.height = width;

   canv.style.height = width*Math.sqrt(3)/2;
   canv.style.width = width;

   document.body.append(canv);

   let triangle = (x, y, w, color=fillcolor, r=false) => {

        // take square coordinates and width for simplycity
        // also (r)otate triangle if needed, V by default

        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x + w/2, r? y : width-y);
        ctx.lineTo(x + w, r? (w + y) : width- (y + w) );
        ctx.lineTo(x, r? (w + y) : width- (y + w) );

        ctx.fillStyle = color;
        ctx.fill();
        ctx.closePath();

        }

   let recstep = (x, y, wi, de) => {

        if (de < depth) {

             triangle(x+ wi/4, y, wi/2);

             // paint the triangle in center of given square
             // split to three squares pyramide
             // recursively paint each square of pyramide

             setTimeout(() => {

                  recstep(x, y, wi/2, de+1);
                  recstep(x+wi/2, y, wi/2, de+1);
                  recstep(x + wi/4, y + wi/2, wi/2, de+1);

                  }, timestep);
             }
        }

   triangle(0, 0, width, basecolor, true);
   recstep(0, 0, width, 0);

Построение на C#

Построение на C# в консоли с помощью треугольника Паскаля:

using System;

namespace Serpinski 
{ 
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            Console.Write("Power of 2: ");
            int depth = Convert.ToInt32(Math.Pow(2d, Convert.ToDouble(Console.ReadLine())));

            int[][] pascaltriangle = new int[depth][];
            for (int i = 0; i < pascaltriangle.Length; i++)
            {
                pascaltriangle[i] = new int[depth];
                for (int j = 0; j < pascaltriangle[i].Length; j++)
                    pascaltriangle[i][j] = 0;
                pascaltriangle[i][0] = 1;
                pascaltriangle[i][i] = 1;
            }

            for (int i = 1; i < pascaltriangle.Length; i++)
                for (int j = 1; j < pascaltriangle[i].Length; j++)
                    pascaltriangle[i][j] = (pascaltriangle[i - 1][j - 1] + pascaltriangle[i - 1][j]) % 2;

            for (int i = 0; i < pascaltriangle.Length; i++)
            {
                for (int j = 0; j < pascaltriangle[i].Length; j++)
                    Console.Write(pascaltriangle[i][j] == 1 ? "#" : " ");
                Console.WriteLine();
            }
            
            Console.Write("Press any key to continue...");
            Console.ReadKey();
        }
    }
}

Галерея

• Треугольник Серпинского
• 
  Построение итеративным методом
• 
  Построение методом хаоса
• 
  Иллюстрация свойства самоподобия (рекурсии)

См. также

• Ковёр Серпинского
• Снежинка Коха
• Кривая Гилберта

Литература

• Jones, O. The grammar of ornament. Day and Son, London. - 1856.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.

Ссылки

• Медиафайлы по теме Треугольник Серпинского на Викискладе
• Weisstein, Eric W. Sierpiński Sieve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Если есть свободное время, можете нарисовать треугольник Серпинского⁠⁠.